Add 1120 (#138)

Co-authored-by: Possawat Suksai <[email protected]>

md/1120.md

@@ -0,0 +1,61 @@
+โจทย์ข้อนี้ต้องการให้เราตอบคำถามว่าในช่วง $X$ ถึง $ Y$ มีกี่ตัวที่มีตัวหาร $D$ ตัว โดยมี $Q$ คำถาม 
+
+$(1\leq X \leq Y \leq 1000000, D \leq 500, Q \leq 100)$
+
+### Preprocessing
+
+สำหรับข้อนี้ขั้นแรกคือ preprocess ว่าแต่ละตัวเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $L=1000000$ มีตัวหารกี่ตัว เราสามารถใช้วิธีคล้ายตะแกรงของเอราทอสเทนีส (Sieve of Eratosthenes) 
+
+สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$ เราจะ initialize จำนวนตัวหาร `num_divisors[x]` เป็น 0
+
+จากนั้นสำหรับ $1 \leq i \leq L$ เราจะเพิ่ม `num_divisors[j]` สำหรับทุก $j = i, 2i, 3i, \dots (j \leq L)$ เพราะ $i$ เป็นตัวหารของ $j$
+
+เห็นได้ว่าแต่ละ $i$ จะต้องเพิ่ม $j$ จำนวน $\frac{L}{i}$ ตัว 
+
+```cpp
+  int L = 1000000;
+  int num_divisors[1000100];
+
+  for (int i = 1; i <= L; i++)
+    for (int j = i; j <= L; j += i)
+      num_divisors[j]++;
+```
+
+ขั้นตอนนี้จึงใช้เวลา $\frac{L}{1} + \frac{L}{2} + \frac{L}{3} + \dots + \frac{L}{L} = \mathcal{O}(L \log{} L)$ 
+
+จากนั้นเราจะเก็บทุกตัวใน `C[D]` โดย `C[D]` เป็น vector เก็บตัวเลขที่มีตัวหาร $D$ ตัว
+
+```cpp
+  vector < int > C[510];
+  for (int i = 1; i <= L; i++)
+    if (num_divisors[i] <= 500)
+      C[num_divisors[i]].push_back(i);
+```
+
+สังเกตว่าการ insert $i$ เข้าไปใน vector ในแบบนี้จะทำให้แต่ละ vector เรียงกันจากน้อยไปมาก
+
+ขั้นตอนนี้ใช้เวลา  $\mathcal{O}(L)$ 
+
+### การตอบ Query
+
+สำหรับ Query $X, Y, D$ เราต้อง Binary Search หาตำแหน่งของค่าน้อยสุดที่ไม่น้อยกว่า $X$ ใน `C[D]`  และตำแหน่งของค่าที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $Y$ จากนั้นเมื่อนำมาลบกันจะเป็นคำตอบของคำถาม เราสามารถใช้ Binary Search เพราะข้อมูลใน `C[D]` เรียงจากน้อยไปมากอยู่แล้ว
+
+การ Binary Search ในแต่ละคำถามใช้เวลา $\mathcal{O}(\log{} L)$ เพราะแต่ละ vector มีขนาดอย่างมาก $L$  
+
+หากใช้ภาษา C++ สามารถใช้ `std::lower_bound` และ `std::upper_bound` จาก `<algorithm>` ใน STL สำหรับการ Binary Search ดังกล่าว 
+
+```cpp 
+  for (int i = 1; i <= Q; i++) {
+    int X, Y, D;
+    cin >> X >> Y >> D;
+
+    auto lb = lower_bound(C[D].begin(), C[D].end(), X);
+    auto ub = upper_bound(C[D].begin(), C[D].end(), Y);
+
+    cout << int(ub - lb) << "\n";
+  }
+```
+
+(`std::lower_bound(C[D].begin(), C[D].end(), X)` จะ return iterator ไปยังตำแหน่งแรกที่ไม่น้อยกว่า $X$ ส่วน `std::upper_bound(C[D].begin(), C[D].end(), Y)` จะ return iterator ไปยังตำแหน่งแรกที่มากกว่า $Y$) 7:51 AM 9/10/2023
+
+ทั้งปัญหานี้จึงใช้เวลา $\mathcal{O}(L \log{} L + L + Q \log{} L) = \mathcal{O}((Q+L) \log{} L) $